ত্রিভুজ PDF | ত্রিভুজ কাকে বলে? ত্রিভুজ কত প্রকার ও কি কি?

ত্রিভুজ PDF : এিভুজ কাকে বলে: 

আজকে আমরা জানবো এিভুজ কাকে বলে? এই প্রশ্নের উত্তর পেতে আমাদের এই পোস্টটি সম্পূর্ণ পড়ুন। আশা করি আপনারা এই প্রশ্নের উত্তর ভালো ভাবে বুঝতে পারবেন। এই পোষ্টের শেষ ত্রিভুজ PDF টি বিনামূল্যে ডাউনলোড করে নিতে পারবেন।

ত্রিভুজ কাকে বলে? (What is called a triangle in Bangla?)

সমতলীয় জ্যামিতির ভাষায় তিনটি সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ চিত্রকে ত্রিভুজ বলা হয়। এটি একটি বহুভুজ, যার তিনটি ছেদচিহ্ন ও তিনটি প্রান্ত থাকে।

চিত্রে, একটি ত্রিভুজ দেখা যাচ্ছে।

ইউক্লিডিও জ্যামিতি অনুযায়ী, একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি বিন্দু দ্বারা একটি ও কেবল একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায়। অন্যভাবে বললে, যে বহুভুজের কেবল তিনটি বাহু ও তিনটি শীর্ষবিন্দু থাকে তাকে ত্রিভুজ বলে।

আবার, ত্রিভুজকে যেহেতু বহুভুজও বলা যায়, তাই বলা যায়, যে বহুভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি শীর্ষবিন্দু থাকে তাকে ত্রিভুজ বলে।

ত্রিভুজের বিভিন্ন অংশগুলি কী কী?

1) বাহু বা ভুজ (Arm)- ত্রিভুজ গঠিত হওয়ার পর রেখাংশ তিনটির প্রত্যেকটিকে ত্রিভুজের বাহু বলে।

2) ত্রিভুজক্ষেত্র– ত্রিভুজ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।

3) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু বলতে বোঝায়, এর যেকোনো দুইটি বাহু পরস্পর যে বিন্দুতে মিলিত হয়।

4) ত্রিভুজের কোণ এবং কৌণিক বিন্দু- দুইটি বাহু শীর্ষবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে ত্রিভুজের একটি কোণ বলে। আবার যে বিন্দুতে দুইটি বাহু মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজের কৌণিক বিন্দু বলে। প্রতিটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ ও তিনটি কৌণিক বিন্দু থাকে। দ্বি-মাত্রিক তলে ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০° বা দুই সমকোণ।

উদাহরণ হিসাবে বলা যায়- যদি <ABC, <BCA এবং <CAB ত্রিভুজের তিনটি কোণ হয়, তবে B, C, A হল তিনটি কৌণিক বিন্দু।

5) ত্রিভুজের পরিসীমা- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে ত্রিভুজের পরিসীমা বলা হয়। ত্রিভুজের পরিসীমা = ত্রিভুজের তিন বাহুর যোগফল। সুতরাং এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, পরিসীমা হবে 3a

ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য গুলি কী কী?

ত্রিভুজের কিছু বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ-

1. ত্রিভুজ একটি দ্বি-মাত্রিক জ্যামিতিক তল।
2. ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০° বা দুই সমকোণ।
3. প্রতিটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু, তিনটি কোণ ও তিনটি কৌণিক বিন্দু থাকে।
4. ত্রিভুজকে বহুভুজও বলা যায়
5. বাহুর সংখ্যা বিবেচনায়, ত্রিভুজই সর্বনিম্ন বহুভুজ।
6. বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার : সমবাহু, সমদ্বিবাহু ও বিষমবাহু।
7. কোণভেদেও ত্রিভুজ তিন প্রকার : সূক্ষ্মকোণী, স্থূলকোণী ও সমকোণী।
8. সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০°
9. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক
10. ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি, তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
11. ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর অন্তর, তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। অর্থাৎ ত্রিভুজের দুটি বাহু বিয়োগ করলে যেন তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ছোট হয়।
12. কোন ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু আপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষ্রদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
13. কোন ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলো ও পরস্পর সমান। অর্থাৎ যদি একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তাহলে তাদের বিপরীত কোণদ্বয় ও সমান হবে।
14. কোন ত্রিভুজের সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলোও পরস্পর সমান। অর্থাৎ ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে তাদের বিপরীত বাহুগুলোও সমান হয়।
15. ত্রিভুজের বাহুগুলির লম্ব সমদ্বিখন্ডিত তিনটি সমবিন্দু। এই সমবিন্দুগুলিকে বলা হয় পরিকেন্দ্র (Circum Centre)
16. ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত রেখাংশকে বলা হয় মধ্যমা (Medium)।
17. ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটি সমবিন্দু। এগুলিকে বলা হয় লম্ববিন্দু (Ortho Centre)।

ত্রিভুজের প্রকারভেদ–

ত্রিভুজকে কয়ভাগে ভাগ করা যায়? এখন এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যাক! সাধারণভাবে দুটি মানদন্ডের ভিত্তিতে ত্রিভুজকে বিভক্ত করে দেখানো হল। যেমন-

1. বাহুর দৈর্ঘ্যের ভিত্তিতে ত্রিভুজের শ্রেণীবিভাগ
2. কোণভেদে ত্রিভুজের শ্রেণীবিভাগ

1. বাহুর দৈর্ঘ্যের ভিত্তিতে ত্রিভুজকে কয়টি ভাগে ভাগ করা যায়?

বাহুর দৈর্ঘ্যের ভিত্তিতে ত্রিভুজ তিন প্রকারের হতে পারে। যথা:–

• A) সমবাহু ত্রিভুজ
• B) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
• C) বিষমবাহু ত্রিভুজ

A) সমবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে?

যে ত্রিভুজের ৩ টি বাহুর দৈর্ঘ্যই পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান বলে এর কোণ তিনটিও সমান।

তাই বলা যায়, যে ত্রিভুজের কোণ তিনটি পরস্পর সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি ১৮০°। ফলে কোণগুলো পরস্পর সমান হলে, এর প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০° হয়। তাই সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০°।

চিত্রঃ ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ

সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যঃ

1. সমবাহু ত্রিভুজ হল একটি সুষম ত্রিভুজ কারণ সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান বলে এর কোণ তিনটিও সমান।
2. সমবাহু ত্রিভুজ একটি সুষম বহুভুজ যার বাহুর সংখ্যা তিন।
3. সুষম বহুভুজ হওয়ার কারণ হলো এই বহুভুজের বাহু তিনটি পরস্পর সমান।
4. এই ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি ১৮০°।
5. সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ ৬০°।

B) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে?

সম মানে সমান আর দ্বি বাহু মানে দুই বাহু। অথ্যাৎ, যে ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে। আবার বলা যায়, যে ত্রিভুজের কেবল দুইটি বাহু সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে। আবার, কোনো কোনো ক্ষেত্রে বলা হয়, যে ত্রিভুজের কমপক্ষে দুইটি বাহু পরস্পর সমান, তাই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। এক্ষেত্রে, সকল সমবাহু ত্রিভুজকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলা যায়। আবার, যে ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।

চিত্রঃ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যঃ

1. এই ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান
2. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের যেকোনো একটি কোণের মান জানা থাকলে অপর কোণ দুইটির পরিমাপ নির্ণয় করা যায়।
3. যদি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ কোণ ৯০° হয় তাহলে অপর দুটি কোণ হবে ৪৫° ।
4. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণ দুটি সমান হয়।

C) বিষমবাহু ত্রিভুজ কাকে বলে?

বিষমবাহু শব্দটির মানেই হলো সমান নয়। অথ্যাৎ, যে ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরস্পর অসমান হলে তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।

বিষমবাহু ত্রিভুজ হলো সকল ত্রিভুজের সাধারণ রূপ। অর্থাৎ বিষমবাহু ত্রিভুজের কোনো কোনো বৈশিষ্ট্যের কারণে অন্যান্য ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়। যেমন বিষমবাহু ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তখন সেটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হয়ে যায়। একইভাবে, বিষমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।

চিত্রঃ ABC একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ

বিষমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যঃ

1. এই ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর সমান নয়
2. বিষমবাহু ত্রিভুজ হলো সকল ত্রিভুজের সাধারণ রূপ।

2. কোণের ভিত্তিতে ত্রিভুজকে কয়টি ভাগে ভাগ করা যায়?

কোণের ভিত্তিতে ত্রিভুজকে তিনটি ভাগে ভাগ করা যায়। যথা-

• A) সমকোণী ত্রিভুজ
• B) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
• C) স্থূলকোণী ত্রিভুজ

A) সমকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে?

ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ অথ্যাৎ ৯০° হলে তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে। আমরা জানি, ১ সমকোণ = ৯০°। তাই অন্যভাবে বলা যায়, যে ত্রিভূজের একটি কোণের পরিমাপ ৯০°, সে ত্রিভূজকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

চিত্রঃ সমকোণী ত্রিভুজ

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীতে যে বাহু তাকে অতিভুজ বলা হয়। সমকোণের বৃহত্তম বাহু হল অতিভুজ। যে ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণ পূরক কোণ। কারণ এই কোণ দুইটির সমষ্টি ৯০°।

সমকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যঃ

1. সমকোণী ত্রিভুজের উপর ভিত্তি করে পিথাগোরাসের উপপাদ্য গড়ে উঠেছে।
2. এই ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ বলে।
3. সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটিকে লম্ব ও ভূমি বলে।

B) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে?

যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই সূক্ষ্মকোণ সে ত্রিভূজকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।  সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো পরস্পর সমান হতে পারে আবার নাও হতে পারে। যদি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান হলে তখন এটি সমবাহু ত্রিভুজ হয়ে যায়।

চিত্রঃ সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যঃ

1. সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের তিনটি অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্র আঁকা যায়।
2. সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।

C) স্থূলকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে?

যে ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ সেই ত্রিভূজকে স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে। স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণ ব্যতীত এর অপর দুটি কোণ হচ্ছে সূক্ষ্মকোণ। স্থূলকোণী ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।

চিত্রঃ ABC একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ

স্থূলকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যঃ

1. এই ত্রিভুজের স্থূলকোণ ব্যতীত অপর কোণ দুইটির প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ।
2. এই ত্রিভুজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুই বৃহত্তম বাহু।
3. ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০°

আরও অন্যান্য ত্রিভূজের সংজ্ঞাঃ

1) বিষমবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে?

উঃ যে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর সমান নয় তাকে বিষমবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে। আবার বলা যায়, যে বিষমবাহু ত্রিভুজের কোণ তিনটির প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ তাকে বিষমবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।

2) বিষমবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে?

উঃ যে স্থূলকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর অসমান তাকে বিষমবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বললে, যে বিষমবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ তাকে বিষমবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে।

3) বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে?

উঃ যে সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটি পরস্পর অসমান তাকে বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বললে, যে বিষমবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ তাকে বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

4) সমদ্বিবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে?

উঃ যে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান তাকে সমদ্বিবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে। আবার বলা যায়, যে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ তাকে সমদ্বিবাহু সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।

5) সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে?

উঃ স্থূলকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বলা যায়, যে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ তাকে সমদ্বিবাহু স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে।

6) সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে?

উঃ সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বললে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু দুইটির অন্তর্ভূক্ত কোণটি এক সমকোণ বা ৯০° হলে তাকে সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

7) তির্যক ত্রিভুজ কাকে বলে?

উঃ ত্রিভুজের কোনো কোণের পরিমাপ এক সমকোণ বা ৯০° না থাকলে সেই ত্রিভুজকে তির্যক ত্রিভুজ বলে। তির্যক শব্দটির অর্থ হেলানো অর্থাৎ, খাড়া নয় এমন। সমকোণের বাহুদ্বয় একটির উপর আরেকটি ঠিক খাড়াভাবে অবস্থান করে। তাই সমকোণী ত্রিভুজের বাহুদ্বয় একটি আরেকটি বাহুর উপর খাড়াভাবে অবস্থান করে। এজন্য কোনো সমকোণী ত্রিভুজ কখনও তির্যক ত্রিভুজ নয়।

8) সদৃশকোণী ত্রিভুজ কাকে বলে?

উঃ একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ অপর একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটিকে পরস্পর সদৃশকোণী ত্রিভুজ বলে। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°। ফলে, একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ অপর একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটির তৃতীয় কোণের পরিমাপও পরস্পর সমান হয়।

9) সর্বসম ত্রিভুজ কাকে বলে?

উঃ দুইটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলো পরস্পর সমান এবং অনুরূপ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটিকে পরস্পর সর্বসম ত্রিভুজ বলে। সর্বসম শব্দটির অর্থ হলো সবকিছু সমান।

10) বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজ কাকে বলে?

উঃ একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে ত্রিভুজটিকে বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজ বলে। অন্যভাবে বললে, একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত যেকোনো তিনটি বিন্দু পরস্পর যোগ করলে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তাকে বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজ বলে।